15用数学归纳法证明22+42+62+

时间:2022-05-13 21:17编辑:admin来源:未知当前位置:担当作文网 > 访民风的作文
15用数学归纳法证明22+42+62+-+(2n)2=n(n+1)(2n+1). 分析 用数学归纳法证明代数恒等式的关键是分清等式两边的构成情况,合理运用归纳假设. 证明 (1)当n=1时,左边=22=4,右边=×1×2×3=4, ∴左边=右边,即n=1时,命题成立. 1分 (2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即 22+42+62+-+(2k)2=k(k+1)(2k+1), 2分 那么当n=k+1时, 22+42+-+(2k)2+(2k+2)2=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)2 3分=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1], 6分 即n=k+1时,命题成立. 7分 由可知,命题对所有n∈N*都成立. 8分16.求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a-1整除(n∈N*). 分析 数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题,常见的恒等式.不等式的命题可用数学归纳法证明,其他的如整除.几何方面的命题也可用数学归纳法证明.在证明n=k+1时,“配凑 的技巧掌握很重要,要有目的去“配凑 倍数式子,以及假设n=k时的式子. 证明 (1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除; (2)假设n=k(k∈N*)时, ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 2分 则当n=k+1时, ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 5分=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除. ∴ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除, 7分 即n=k+1时命题也成立. ∴对n∈N*原命题成立. 8分 【查看更多】

 

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